В10 

УСЛОВИЕ

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

РЕШЕНИЕ

Бросаем первую кость – шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть – когда мы бросаем вторую кость. Получаем, что у данного действия – бросания двух игральных костей – всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36. 
А теперь – благоприятные исходы: 
2 6 
3 5 
4 4 
5 3 
6 2 
Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,14.

Ответ: 0,14.

В10 

УСЛОВИЕ

В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

РЕШЕНИЕ

Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых – девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.

Ответ: 0,6.

B2 

УСЛОВИЕ

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 10° С. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Когда температура достигает определенного значения, включается вентилятор, охлаждающий двигатель и температура начинает понижаться. Определите по графику, сколько минут прошло от момента запуска двигателя до включения вентилятора.

РЕШЕНИЕ

Внимательно читаем условие. Когда включили вентилятор, температура двигателя начала понижаться. То есть до этого момента температура росла. Значит, нам нужна самая высокая точка на графике. Достигается она на восьмой минуте.

Ответ: 8.

B2 

УСЛОВИЕ

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа оборотов. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат – крутящий момент в Нм. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой v 0,036 n , где n – число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться водитель, чтобы крутящий момент был не меньше 120? Ответ дайте в километрах в час.

РЕШЕНИЕ

Если даже вы не знаете, что такое крутящий момент двигателя, – не переживайте. Чем бы он ни был, его зависимость от числа оборотов в минуту изображена на графике. Крутящий момент должен быть не меньше (то есть больше или равен) 120. Минимальное значение числа оборотов в минуту, при котором это происходит, равно 2000. А скорость равна 0,036 * 2000 = 72 км/ч.

Ответ: 72.

B1 

УСЛОВИЕ

Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

РЕШЕНИЕ

Очевидно, что 10% от 40 -- это (10 / 100) * 40 = 0,1 * 40 = 4. 
Новая цена ручки составит 44 рубля. 
На 900 рублей можно купить 900 / 44 = 20, 454545... 
Округляем до меньшего целого и получаем 20 ручек.

Ответ: На 900 рублей можно купить 20 ручек.

B1 

УСЛОВИЕ

В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15 детей и подростков. Среди взрослых 45 не работают (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

РЕШЕНИЕ

В чем сложность этой задачи и почему ее редко решают правильно? Дело в том, что «15 процентов» или «45 процентов» – величины относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Помните правило: за сто процентов принимается в каждом случае то, с чем мы сравниваем.

Итак, дети и подростки составляют 15 от 200000 жителей. Значит, их число – это 15 от 200000, то есть 15/100 надо умножить на 200000. Получим, что городе N 30000 детей и подростков. Следовательно, взрослых 170000. Среди взрослых 45 не работают. Теперь за 100 мы принимаем число взрослых. Получается, что число работающих взрослых жителей равно 55 от 170000, то есть 93500.

Ответ: 93500.

 

 

B1 

УСЛОВИЕ
Налог на доходы составляет 13 от заработной платы. После удержания налога на доходы Марья Константиновна получила 9570 рублей. 

Сколько рублей составляет заработная плата Марьи Константиновны?

РЕШЕНИЕ

Итак, Марья Константиновна получила 9570 рублей после удержания налога. Следовательно, 13 у нее уже удержали, а выдали ей 87 ее заработной платы. Составляем пропорцию: 9570 / x = 87% / 100% 

Решаем пропорцию: x = 9570 * 100 / 87 
Получаем, что зарплата Марьи Константиновны составляет 11000 рублей.

Ответ: 11000 рублей.

 

 

 

B6 

 

УСЛОВИЕ

 

В треугольнике ABC угол С равен 90 градусов , cosA=0,48 найдите sinB.

РЕШЕНИЕ

Косинус угла А равен синусу угла В. Ответ Вам дан в условии задачи.

Ответ: Решения не требуется.

 

B12 

УСЛОВИЕ

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?

РЕШЕНИЕ

Пусть x - число дней, за которое первый рабочий выполняет работу, работая отдельно, а y - число дней, за которое второй рабочий выполнит работу, работая отдельно. Тогда за один день первый выполнит 1/x часть работы, второй 1/y часть работы.  По условию, работая вместе, за день они выполняют 1/12 часть работы, т.е. 

1/x + 1/y = 1/12  (1)

Также из условия известно, что первый рабочий за 2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй за 3 дня, т.е. 

2/x = 3/y

или 1/y = 2/3x

Подставим это выражение в (1) и получим:

1/x + 2/3x = 1/12  

(3 + 2)/3x = 1/12  

5/3x = 1/12  

3x = 5*12

3x = 60 
х = 20

Ответ: Работая отдельно, первый рабочий выполнит эту работу за 20 дней.

 

 

С2 

УСЛОВИЕ

DABC – правильная треугольная пирамида. Сторона основания – три корня из трех. Боковое ребро – 5, MC – медиана треугольника ABC. Найти площадь треугольника MDC.

РЕШЕНИЕ

В правильной треугольной пирамиде основание – равносторонний треугольник. Следовательно, MC – высота и биссектриса.
Значит:
MC = BC*sin(60 градусов) = 3*sqrt(3)*sqrt(3)/2 = 9/2.
DM = sqrt(DB^2-BM^2) sqrt(5^2-(3*sqrt(3)/2)^2) = sqrt(73)/2.
DC = 5;
А дальше – например, по формуле Герона:
Полупериметр p = (MC+DM+DC)/2
S = sqrt(p*(p-MC)*(p-DM)*(p-DC))
Но без калькулятора такую штуку считать – с ума сойдешь.
Можно иначе:
Пусть DP – высота пирамиды. Точка P – точка пересечения медиан/биссектрис/высот треугольника ABC, и мы знаем, что она делит их в отношении 2:1.
То есть, PC = MC*2/3 = 9/2*2/3 = 3.
Значит, высота пирамиды
DP = sqrt(DC^2-PC^2) = 4
Площадь треугольника MDC равна MC*DP/2 = 9/2*4/2 = 9.

 

Ответ: 9.

 

 

С4 

УСЛОВИЕ

Радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, площадь которого равна 210, в три раза меньше высоты, проведенной из вершины А. Известно, что ВС = 28. Найдите сторону АС.

РЕШЕНИЕ

Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен площади треугольника, поделенной на его полупериметр: r = S/p.

В свою очередь, площадь треугольника равна BC*h/2 (h - высота).

S = 28*h/2 = 14*h = 42*r = 42*S/p.

1 = 42/p.

Отсюда полупериметр p = 42.

Подставляем известные значения BC и p в формулу Герона:

sqrt(42*14*(42-x)*(42-y)) = 210 (x и y - это две неизвестные стороны треугольника).

Отсюда (42-x)*(42-y) = 75.

И ещё нам известен полупериметр: (x+y+28)/2 = 42.

Решаем эту систему из двух уравнений, получаем

{x = 17, y = 39} или {x = 39, y = 17}.

Ответ: 17 или 39.

 

B9 

УСЛОВИЕ

Объем первого цилиндра равен 12м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

РЕШЕНИЕ

Объем цилиндра вычисляется по формуле V = HR2, где R – радиус основания, H – высота цилиндра. Из условий задачи

 , ,  .

Тогда

, .

Ответ: 9.

 

 B5 

УСЛОВИЕ

Строительная фирма планирует купить 70м3 пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

 

РЕШЕНИЕ

Найдем, сколько нужно заплатить каждому из поставщиков.

Для первого: сумма заказа равна 70 х 2600 = 182 000 руб., стоимость доставки равна 10 000 руб. Итого: 182 000 + 10 000 = 192 000 руб.

Для второго поставщика сумма заказа равна 70 х 2800 = 196 000 руб. Так как получившаяся сумма больше 150 000 руб., то, исходя из дополнительных условий, доставка бесплатна. Итого: 196 000 руб.

Для третьего поставщика сумма заказа равна 70 х 2700 = 189 000 руб. Так как эта сумма меньше 200 000 руб., то дополнительное условие не используется и стоимость доставки составит 8000 руб. Итого: 189 000 + 8000 = 197 000 руб.

Сравниваем получившиеся числа 192 000, 196 000, 197 000 и выбираем наименьшее. Получаем, что выгоднее всех условия у первого поставщика, который берется осуществить продажу с доставкой за 192 000 руб.

Ответ. 192 000

 

 B8 

УСЛОВИЕ

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3.

Рис. 1

Рис. 2

 

РЕШЕНИЕ

Для решения используем геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси х (tg α). Угол α = β как накрест лежащие углы при параллельных прямых y = 0, y = 1 и секущей-касательной. Для треугольника ABC tg β = BC / AC = 6 : 3 = 2;

f'(3) = tg α = tg β = 2.
Ответ: 2.

 

 B2 

УСЛОВИЕ

На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат – значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа.

 

РЕШЕНИЕ

Сначала находим на оси абсцисс (ось х) отрезок, соответствующий 15 августа. На выделенной части графика находим точку максимума и на оси ординат (ось у) смотрим значение температуры.

 

Ответ: 14.

 

B1

УСЛОВИЕ

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

РЕШЕНИЕ

Сперва определим, на сколько рублей увеличилась стоимость билетов. Для этого вычислим 20% от 15 рублей, и получим 3 рубля. Таким образом, цена после повышения станет равной 15+3=18 рублей.

Теперь 100 разделим на 18, получим 5 и 10 в остатке.

Учитывая, что число билетов – целое число, получим, что можно купить 5 билетов.

Ответ: 5.

 

B4

УСЛОВИЕ

Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Цена дизельного топлива – 19 руб. за литр, бензина – 22 руб. за литр, газа – 14 руб. за литр.

Автомобиль	Топливо	Расход топлива (л на 100 км)	Арендная плата  (руб. за 1 сутки)
А	Дизельное	7	3700
Б	Бензин	10	3200
В	Газ	14	3200

РЕШЕНИЕ

Очевидно, надо посчитать расход топлива для каждого автомобиля и прибавить стоимость аренды.

Для автомобиля А получим: 75 х 5 х 19 + 3700 = 4365 руб.

Для автомобиля Б: 10 х 5 х 22 + 3200 = 4300 руб.

Для автомобиля В: 14 х 5 х 14 + 3200 = 4180 руб.

Ответ: 4180.

B1

УСЛОВИЕ

Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

РЕШЕНИЕ

Определяем количество человек на борту: 750 + 25 = 775. Далее делим его на 70, получаем 11 и 5 в остатке. Значит, одиннадцать шлюпок будут полностью загружены пассажирами, а в двенадцатой будет сидеть пять человек.

Итого ответ: 12 (И даже если бы там было два человека или один, все равно ответ – 12 шлюпок.)

B8

УСЛОВИЕ

Прямая, проходящая через начало координат, является касательной к графику функции y = f(x) в точке A(–7; 14). Найдите f'(–7).

РЕШЕНИЕ

В задаче просят найти производную от функции y=f(x) в точке A(–7; 14). Значение производной равно тангенсу угла наклона касательной к функции в точке.

Так как нам известно, что касательная проходит через начало координат, то мы легко сможем определить тангенс угла наклона прямой (касательной), проходящей через две точки: О(0; 0) и A(–7; 14) по формуле:

tg(a) = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (14 – 0) / (–7 – 0) = –2

B10

УСЛОВИЕ

Планируя выпуск нового электронного прибора, экономисты предприятия определили, что в первый месяц может быть изготовлено 200 приборов. Далее предполагалось ежемесячно увеличивать выпуск на 20 изделий. За сколько месяцев предприятие сможет изготовить по этому плану 11000 приборов?

РЕШЕНИЕ

Чтобы решить данную задачу надо составить уравнение  и решить его. Для этого запишем сумму S выпуска приборов за n месяцев (сумму членов арифметической прогрессии):

S = n х ( N1 + Nn ) / 2, 
где N1 и Nn количество приборов, выпущенное за первый и n-ный месяцы соответственно.
При этом из условия задачи следует, что Nn = N1 + ( n – 1 ) х 20

Таким образом получаем:

S = n х ( N1 + N1 + ( n – 1 ) х 20 ) / 2

В условии дано, что N1 = 200 и S = 11000, заменим эти величины в уравнении на соответствующие числа и получим:
11000 = n х ( 200 + 200 + ( n – 1 ) х 20 ) / 2

Раскроем скобки и получим:
20 х n^2 + 380 х n = 22000

Преобразуем:
n^2 + 19n – 1100 = 0

Решим это квадратное уравнение и получим корни:
n1 = –44 (не подходит, так как количество месяцев не может быть отрицательным)

n2 = 25 

В бланк ответов надо записать: 25.

Комбинаторика

ЗАДАНИЕ

Для посещения театра закуплено 2n билетов в один ряд партера. Сколькими способами можно распределить эти билеты между n мужчинами и n женщинами, чтобы два мужчины или две женщины не сидели рядом.

РЕШЕНИЕ

Пронумеруем числами 1, 2, 3, ..., 2n места ряда. Если мужчины сядут на места с нечетными номерами, а женщины – на места с четными номерами, то вариантов такого размещения будет n! Вместе с тем мужчины могут сесть на места с нечетными номерами также n! способами.

Следовательно, общее число способов, которые необходимо найти в задаче, когда мужчины занимают места с нечетными номерами, а женщины – места с четными номерами, составляет n! x n! = (n!)2

Но мужчин можно посадить на места с четными номерами, а женщин – на места с нечетными номерами и провести аналогичные рассуждения. Отсюда следует, что общим количеством вариантов будет число (n!)2+ (n!)2= 2 (n!)2.

Составление пропорций

ЗАДАНИЕ

Сколько надо добавить воды (в граммах) к 35 г сухого картофельного пюре с содержанием 8% воды, чтобы получить пюре с содержанием 86% воды?

1) 195 г;   
2) 250 г;
3) 215 г;
4) 230 г.

РЕШЕНИЕ

В 35 г пюре содержится 35 x 0,08 = 2,8 г воды и 35 – 2,8 = 32,2 г сухого вещества.
Добавим в пюре х грамм воды, тогда всего пюре станет (35 + х) г, воды в нем – (2,8 + х) г
Заметьте, что сухого вещества останется по-прежнему 32,2 г.

Составим пропорцию:  
35 + x = 100%
2,8 + x = 86%

Решим пропорцию: (35 + x) x 86=(2,8 + x) x 100.

Получим: 3010 + 86x = 280 + 100x; 2730 = 14x; x = 195. 

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ: 1).

B5

УСЛОВИЕ

Для транспортировки 39 тонн груза на 1100 км можно использовать одного из трех перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Перевозчик	Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км)	Грузоподъемность автомобиля (тонн)
А	3200	3,5
Б	4100	5
В	9500	12

РЕШЕНИЕ

Рассчитаем стоимость транспортировки груза у перевозчика А.
Для перевозки 39 тонн груза понадобится: 39 / 3,5 = 11,14. Округляем до ближайшего большего и получаем 12 автомобилей.
Посчитаем, во что нам обойдется аренда одного автомобиля: (1100 / 100 ) х 3200 = 35 200.

Итого, перевозка груза будет стоить: 35 200 х 12 = 422 400.

Стоимость транспортировки груза у перевозчика А 422 400 руб.

 

Рассчитаем стоимость транспортировки груза у перевозчика Б.
Для перевозки 39 тонн груза понадобится: 39 / 5 = 7,8. Округляем до ближайшего большего и получаем 8 автомобилей.
Посчитаем, во что нам обойдется аренда одного автомобиля: (1100 / 100 ) х 4100 = 45 100.
Итого, перевозка груза будет стоить: 45 100 х 8 = 360 800.
Стоимость транспортировки груза у перевозчика Б 360 800 руб.

Рассчитаем стоимость транспортировки груза у перевозчика В.
Для перевозки 39 тонн груза понадобится: 39 / 12 = 3,25. Округляем до ближайшего большего и получаем 4 автомобилей.
Посчитаем, во что нам обойдется аренда одного автомобиля: (1100 / 100 ) х 9500 = 104 500.
Итого, перевозка груза будет стоить: 104 500 х 4 = 418 000.
Стоимость транспортировки груза у перевозчика В 418 000 руб.

ОТВЕТ
Самая дешевая транспортировка груза получится у перевозчика Б и составит 360 800 рублей.